Para calcular o valor das prestações de um bem de R$ 120,00, vendido em 6 parcelas mensais iguais, com a primeira paga no ato da compra (série antecipada) e uma taxa de juros de 10% ao mês, utilizamos a fórmula do valor presente para uma série de pagamentos uniformes antecipados.
Quando você compra um bem parcelado, o valor presente (PV) do bem é de R$ 120,00. A loja oferece um parcelamento em 6 vezes (n = 6), cobrando juros de 10% ao mês (i = 0,1). Como a primeira parcela é paga no ato da compra, dizemos que o fluxo de pagamentos é uma série antecipada (em inglês, annuity due). Isso significa que o comprador não tem carência: ele paga a primeira prestação imediatamente, reduzindo o saldo devedor antes do primeiro mês.
A expressão (1 + i)^n é conhecida como Fator de Acumulação de Capital (FAC). Ela nos permite projetar um valor presente para o futuro, considerando juros compostos. No nosso cálculo, utilizamos seu inverso, (1 + i)^-n, que é o Fator de Valor Presente (FVP). Ele transforma prestações futuras em valores presentes, permitindo que as somemos e igualemos ao preço do bem.
No nosso caso, calculamos: (1 + 0,1)^6 = 1,771561.
A fórmula do valor presente para uma série de pagamentos iguais e antecipados é:
Onde o termo (1 + i) ajusta todo o fluxo para refletir que a primeira parcela é paga imediatamente (momento zero).
Vamos isolar o PMT e substituir os valores:
(1 + i)^n = (1,1)^6 = 1,771561(1 + i)^-n = 1 / 1,771561 = 0,564473931 - (1 + i)^-n = 1 - 0,56447393 = 0,435526070,43552607 / i = 0,43552607 / 0,1 = 4,35526074,3552607 × (1 + i) = 4,3552607 × 1,1 = 4,79078677PMT = PV / 4,79078677 = 120 / 4,79078677 = 25,04793Portanto, o valor de cada prestação é de R$ 25,05 (considerando o arredondamento padrão).
Para garantir que o cálculo está correto, podemos trazer cada pagamento para o valor presente e somá-los. A soma deve ser igual a R$ 120,00.
| Prestação | Mês | Cálculo do VP | Valor Presente |
|---|---|---|---|
| 1ª (no ato) | 0 | R$ 25,05 / (1,1)^0 | R$ 25,05 |
| 2ª | 1 | R$ 25,05 / (1,1)^1 | R$ 22,77 |
| 3ª | 2 | R$ 25,05 / (1,1)^2 | R$ 20,70 |
| 4ª | 3 | R$ 25,05 / (1,1)^3 | R$ 18,82 |
| 5ª | 4 | R$ 25,05 / (1,1)^4 | R$ 17,11 |
| 6ª | 5 | R$ 25,05 / (1,1)^5 | R$ 15,55 |
| Total | R$ 120,00 | ||
Se a primeira parcela não fosse paga no ato, mas sim 30 dias após a compra (série postecipada), o valor da prestação seria maior, pois todo o fluxo de pagamentos ocorreria mais tarde.
Compare com os R$ 25,05 da série antecipada. A diferença de R$ 2,50 por mês ocorre porque, na série antecipada, o saldo devedor é reduzido imediatamente, gerando menos juros ao longo do tempo.
Na HP-12C:
g BEG (modo série antecipada, aparece "BEGIN")120 e pressione PV6 e pressione n10 e pressione iPMT → Resultado: -25,05
No Excel / Google Sheets:
PGTO (ou PMT):=PGTO(10%; 6; -120; 0; 1)1. O que significa "a primeira paga no ato da compra"?
Significa que o comprador paga a primeira parcela imediatamente na data da compra, funcionando como uma entrada. Diferente do parcelamento tradicional, onde a primeira parcela vence 30 dias depois.
2. Por que a fórmula (1+i)^n é tão importante?
Ela é a base dos juros compostos. Permite calcular o valor futuro de um capital ou descontar valores futuros para o presente.
3. Como fazer o cálculo se os juros fossem diferentes?
Basta substituir a taxa i na fórmula. Por exemplo, se os juros fossem de 5% ao mês, usaríamos i = 0,05.
4. Este cálculo considera juros compostos ou simples?
Juros compostos, que é o padrão do mercado financeiro. A fórmula (1+i)^n fatora exponencialmente os juros sobre juros.
5. Qual a utilidade prática de saber esse cálculo?
Permite ao consumidor simular financiamentos, comparar ofertas de crédito e planejar suas finanças pessoais de forma consciente.
6. O que acontece se eu atrasar um pagamento?
Este cálculo não prevê multas ou mora. Atrasos geram juros adicionais sobre o saldo devedor, alterando o fluxo original.